Inve"tigación Reviot. Mezican. de Fúica 39, No. 5 (1993)


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1 nve"tigación Revit. Meican. de Fúica 39, N. 5 (1993) Estudi teóric y numéric de la difracción en óptica electrmagnética. Tería rigursa de la difracción de un ha gaussian pr ds rendijas. Plariación T.E.. MATA-MENDEZ y F. CÁVEZ-RVAS Departament de Física, Escuela Superir de Física y Matemáticas nstitut Plitécnic Nacinal Zacatenc, Lindavista, Méxic, D.F., Méxic Recibid el 8 de febrer de 1993; ""eptad el 13 de abril de 1993 RESUMEN. Presentams una tería rigursa de la difracción de un ha electrmagnétic gaussian que incide nrmalmente sbre ds rendijas iguales en una pantalla metálica, infinitamente cnductra e infinitamente delgada. Se analian numéricamente ls ceficientes de transmisión y reflexión, así cm sus respectivs patrnes de difracción, en función de la lngitud de nda, del anch del ha y del acercamient de las rendijas. También se estudia el acplamient entre rendijas AnSTHACT. nased n Maxwell's equatins and their assciatcd bundary cnditins we studied the diffractin f gaussian beams by tw slits in a perfectly cnducting thin scn~n. Numerical results fr the transmissin cefficient and diffractin paterns are prcscnted. racs: C. 1. NTRDUCCÓN En las últimas décadas el estudi teóric y experimental de haces de anch finit, en el visible y en la región de las micrndas, ha despertad un gran interés debid a sus aplicacines tant en óptica [1-4] cm en la física del estad sólid [5,6]. A pesar de la extensa literatura sbre el tema, existen escasas terías rigursas de la difracción de haces de anch finit. Entenderems pr tería rigursa de la difracción, a una tería que resuelva sin aprximacines, el prblema de la difracción utiliand las ecuacines de J\laxwell y las cndicines de frntera adecuadas a la estructura difractante baj estudi. En eslas terías rigursas se tman en cuenta ls efects de plariación, de brde y de espesr de la pantalla, así cm la naturalea de la pantalla misma (dieléctrica metálica), dand lugar a que se tenga un interval de valide más ampli que el de las terías aprximadas (limitad únicamente pr la capacidad de ls prcesadres numérics). En la., terías aprximadas, cm pr ejempl la de Kirchhff [4,7,8] equivalentemente la de Rayleigh-Smmerfeld [4,7], ests efects n sn tmads en cnsideración, limitándse fuertemente Sl1 interval de aplicación. En el artícul previ 14], que dentarems en l siguiente pr 1, cmparams la imprtante tería aprximada de Rayleigh-Smmerfeld (TRS), para haces gaussians incidiend sbre una rendija, cn una tería rigursa de la difracción. Esta cmparación ns permitió de manera natural dividir el interval de valres psibles de Aje en ds partes, siend A la

2 ESTUD TEÓRC Y NUMÉRC 707 lngitud de nda y l el anch de la rendija. La primera parte, que crrespnde a >'fl < 0.2, la definims cm la región escalar y mstrams que ls efects de plariación n sn imprtantes aquí. Prbams también, que esta región escalar es el dmini de valide de la TRS. Además, encntrams el imprtante resultad de que el valr >'f l = 0.2 es una cta superir para la región de valide de cualquier tería escalar. A la segunda parte, que crrespnde a 0.2 < >'f l, la llamams región vectrial. De ests punts de vista, la cntinuación lógica de r, sería la cmparación de la TRS de alguna tra tería aprximada imprtante, cm pr ejempl la tería gemétrica de la difracción, cn una tería rigursa de la difracción para ds más rendijas. Desgraciadamente, hasta dnde sabems, n existe una tería rigursa que tme en cuenta que el ha incidente es gaussian. Aunque en la literatura existe una amplia variedad de terías rigursas de la difracción pr N rendijas, N = 2,3,4,..., sól se ha cnsiderad el cas especial de ndas planas incidentes [ Lueg, antes de cntinuar cn nuestr estudi de terías aprximadas, es necesari que dispngams de una tería rigursa. Así, la finalidad de este artícul será la presentación de una tería rigursa de la difracción para haces gaussians que inciden nrmalmente sbre ds rendijas iguales. En este artícul, generaliand el métd utiliad en el estudi de la difracción de haces electrmagnétics pr una rendija [15J y pr una acanaladura [6], presentams una tería rigursa de la difracción de un ha electrmagnétíc gaussian pr ds rendijas iguales en una pantalla metálica de cnductividad infinita e infinitamente delgada. Aunque esta tería rigursa es eficiente tant en la región escalar cm en la vectrial, en este artícul analiarems exclusivamente esta última región y dejarems para un próxim trabaj el análisis de la región escalar. Además, supndrems que el camp eléctric incidente es paralel a las rendijas, es decir, el ha incidente tiene plariación T.E. En la Sec 2, desarrllams la tería y mstrams cóm la nción de un ha incidente arbitrari puede intrducirse en la prpia tería, cn el benefici de reducir enrmemente el tiemp de cálcul, así cm el de aumentar la precisión de ls resultads. En la Sec 3, restringiéndns a un ha gaussian nrmalmente incidente y a la región de camp lejan, analiams numéricamente ls ceficientes de transmisión y reflexión, así cm sus respectivs patrnes de difracción, en función de la lngitud de nda, del anch del ha y de la psición del ha respect de las rendijas. Finalmente en esta sección trate rems el acplamient entre rendijas. 2. FRMULACÓN DE LA TERÍA 2.1. La base de Furier Cnsiderems una pantalla plana infinitamente cnductra e infinitamente delgada (espesr cer), clcada en el vací, la cual tiene ds rendijas paralelas de lngitud infinita, de anch l y cn una separación entre las rendijas igual a d. Escjams un sistema crdenad rectangular xy, de tal manera que la pantalla cincida cn el plan x y que las rendijas sean paralelas al eje. Las rendijas sn iluminadas pr un ha mncrmátic gaussian de lngitud de nda>' = 27rfk (k vectr de nda), el cual es independiente de la variable (nda cilíndrica), y que incide nrmalmente sbre la pantalla. La distribución

3 708. MATA-MENDEZ y F. CHÁVEZ-RVAS y + b l. ~ 1 x P(X.,Y.1 FGURA 1. Nuestr sistema. Las rendijas de anch l sn paralelas al eje, es decir, sn perpendiculares al plan de la figura. El ángul (J es usad para describir ls patrnes de difracción. de la intensidad del ha gaussian sbre la pantalla tiene un anch L y su psición cn respect al eje y está dada pr el parámetr b. En la Fig. 1 se ilustra la cnfiguración. En l que sigue se sbrentenderá una dependencia en el tiemp de la frma exp( -iwt). La unicidad de la slución y la cndición de invariancia del sistema baj una traslación paralela al eje, garantian que tant el camp eléctric ttal E, cm el camp magnétic ttal H, sn independientes de la crdenada. Si el camp eléctric incidente E i es paralel a las rendijas, se dice que se tiene el cas fundamental de plariación transversal eléctric (T.E.); mientras que si el camp magnétic incidente H i es paralel a las rendijas, se dice que se está en el cas fundamental de plariación transversal magnétic (T.M.) Para el cas T.E. (respectivamente T.M.), el camp eléctric ttal (respectivamente camp magnétic ttal) es paralel a las rendijas en td el espaci. En este artícul estudiarems únicamente el cas T.E. En el cas T.E., la cmpnente del camp eléctric sbre el eje, que dentarems pr E, verifica a la ecuación de Helmhlt [3]: 8 2 E 8 2 E 8x2 + 8 y 2 + k5e = ; pr l tant, el prblema a tratar se cnvierte en un prblema escalar. Definams la transfrmada de Furier del camp eléctric E(x, y) cn respect de x de la siguiente manera: cuya transfrmada [;1 E(x,y) = - E(a, y) exp(iax) da, 211" -00 inversa es - [;1 E(a,y) = - E(x,y) exp(-iax) dx. 211" -00 (1) (2) (3)

4 ESTUD TEÓRC Y NUMÉRC 709 una ecuación dife- Si se sustituye la Ec. (2) en la ecuación de Helmhlt, se btendrá renciallineal de segund rden para B(a, y), cuya slución es B (a, y) = A(a)exp(-i,By) + B(a)exp(i,By) B2(a, y) = C(a) exp( -i,by) + D(a) exp(i,by) (para y > ), (para y < ), (4) (5) dnde,b2= k~ - a 2, cn,b ~,B/i ~. A cntinuación interpretarems las Ees. (4) y (5). En estas ecuacines se tienen cuatr términs, cuys ceficientes sn A(a), B(a), C(a) y D(a). dentificarems al términ cn ceficiente A(a) cn la transfrmada de Furier en x del camp incidente E;(x, y), siend A(a) su amplitud. En este trabaj A(a) estará dada pr una función gaussiana. El términ cn ceficiente B( a) representa la nda reflejada, cmpuesta de una cmpnente saliente (al < ka) y una cmpnente evanescente (al > ka). El términ cn ceficiente C(a) representa a la nda transmitida. Nótese que, debid a que n existe nda incidente en la región y <, debems impner D(a) = para lal < ka. Finalmente, A(a) = D(a) = para lal > ka, ya que la cndición aprpiada en infinit (y -+ :1:00) es que el camp ttal sea actad (ausencia de ndas antievanescentes) [3J. En resumen, D(a) es nula y A(a) tiene su sprte cntenid en lal < ka. Estas sn las cndicines de prpagación aprpiadas a nuestra frmulación [3]. De las Ecs. (2)-(5) y de ls ranamients anterires, se sigue que ls camps eléctrics E y E 2 están dads pr ls siguientes desarrlls en ndas planas: E (x, y) = r::j"" A(a) exp[i(ax -,By)] da V ~ -ka + (lj B(a) exp[i(ax +,By)) da (para y > ), (6) V 2; -00 E2(x, y) ={f1:c(a) exp[i(ax -,By)] da (para y < ). (7) Analiarems ahra la slución de la ecuación de Helmhlt en y =. Dentems pr E3(X, ) el camp eléctric en y =. La cndición de cnductividad infinita implica que el camp eléctric es nul en la pantalla, pr l tant, pdems expresar a E 3 mediante el siguiente desarrll mdal: E 3 (x, ) = a~4>~(x) + a~4>~(x), n;;:;l n=l (8) dnde las 4>~(x) (i = 1,2) sn dadas pr. 4>~(x) = {sen [(x - (i - l)(d + l))mr/lj,, (i-l)(d+l):5 x:5 l+ (i-l)(d+l), en cualquier tr x, (9)

5 710. MATA-MENDEZ y F. CHÁVEZ-RVAS cn i = 1,2. Entre las 4>~(x) existe la siguiente relación de rtgnalidad: (10) dnde el asterisc denta el cmplej cnjugad. Cn l anterir hems determinad tres diferentes expresines para el camp eléctric ttal, dadas pr las Ecs. (6), (7) Y (8), válidas en tres diferentes regines, quedand únicamente pr encntrar a las funcines B(a), C(a), y a ls cnjunts de cnstantes a~,a~. Para determinar estas incógnitas, a cntinuación aplicarems las cndicines de cntinuidad del camp eléctric en y =. 2.2 Cndicines de cntinuidad La cntinuidad en y = de ls camps eléctrics E y E3, así cm la de ls camps E Y E 3, está dada pr la cntinuidad de sus respectivas transfrmadas de Furier (El (a, )= E 3 (a,0) y (E(a,) = E 3 (a, ). Lueg de las Ecs. (4), (5) Y (8) se tiene A(a) + B(a) = a~~~(a) + a~~~(a), n=1 n=1 (11) (12) dnde las ~~(a) dentan la transfrmada de Furier de las 4>~(x). Ests resultads ns prprcinan ds ecuacines cn las cuatr incgnitas B(a), C(a), a~ y a~. Para determinar estas incógnitas debems recurrir a tras ds ecuacines. Para est, analicems el salt de la derivada del camp eléctric cn respect a y, en y =,es decir, cnsiderems S = 8E (x, 0)/8y - 8E(x, 0)/8y. Si x está sbre el metal, se tiene que S es prprcinal a la crriente superficial, lueg, S es diferente de cer. Per si x está en alguna rendija, necesariamente S =. Cm la función 4>} es diferente de cer únicamente en la rendija de la iquierda, mientras que 4>; es diferente de cer en la rendija de la derecha, se tiene que (j = 1,2,3,...,00), (13) (j = 1,2,3,...,00). (14 ) En ests resultads se ha aplicad el terema de Parseval-Plancherel: (J(x),g(x)) Las Ecs. (13) y (14), ns prprcinarán = (j(a),g(a)). las ds restantes ecuacines que faltaban. (15)

6 ESTUD TEÓRC Y NUMÉRC. l 711 Finalmente, si después de derivar las Ecs. (4) y (5) Y sustituir en las Ecs. (13) y (14), se elimina a B(a) y C(a) mediante las Ecs. (ll) y (12), se btendrá el siguiente sistema de ecuacines lineales cn las incógnitas a~ y a~: a~(/3~~,~~) + a~(/3~~,~d = (/3A(a),~j) (i = 1,2; j = 1,2,3,...,(0). (16) n=1 n=1 Representarems a este sistema en frma matricial. Si al Y a2 sn matrices clumna, frmadas respectivamente cn ls ceficientes mdales a~y a~,se tiene dnde M;k (i, k = 1,2) sn matrices cuadradas que dependen de ls parámetrs ptgemétrics y S; (i = 1,2) es una matri clumna en la cual sus elements sn funcines lineales de A(a). En resumen, hems establecid que la determinación de ls ceficientes mdales a~y a~, se reduce a la reslución del sistema matricial lineal dad en la Ec. (16) equivalentemente pr las Ecs. (17) y (18). Nótese que la determinación de ls ceficientes mdales, a~ y a~,es cndición suficiente para calcular en cualquier punt del espaci el camp reflejad y el transmitid, es decir, ests camps pueden calcularse tant en la región de camp cercan, cm en la región de camp lejan y aún en la misma rendija. Así, la Ec. (ll) ns permite el cálcul de B(a), y mediante la Ec. (6) el del camp reflejad. La Ec. (12) ns da C(a), cn l que pdems calcular a partir de la Ec. (7) el camp transmitid. Finalmente, de la Ec. (8) calculams el camp en la rendija. Hems llegad de esta manera a establecer un sistema de ecuacines lineales matriciales de rden infinit, el cual n se puede reslver analíticamente. Debems, entnces, recurrir a una slución numérica, l que ns impne truncar el sistema lineal a un rden n. La determinación de n ns la fija el criteri de cnservación de la energía y la cnvergencia de ls resultads al aumentar n. Nuestras experiencias numéricas ns han mstrad que n = 10 es suficiente para garant>ar ls resultads. Finalmente, discutirems brevemente el cálcul numéric de ls elements matriciales de M;k (i, k = 1,2). Ests elements matriciales hacen intervenir integrales del tip (17) (18) (19) Estas integrales presentan una seria dificultad numérica si se calculan directamente, ya que el integrand es una función muy scilante. Esta dificultad se supera fácilmente si se emplea el hech que la funciión rnultivaluada /3(a)= y'k5 - a 2 tiene crtes en el plan cmplej, y se utilia el cntrn de integración que se muestra en la Fig. 2. Esta nueva trayectria de integración, incluye a un semicírcul de radi infinit y el crte 6. El lema de Jrdan garantia la anulación de la integral en el semicírcul, quedand únicamente la

7 712. MATA-MENDEZ y F. CHÁVEZ-RVAS -K. - mn/ -nrr/, nn/, K. mn/j FGURA 2. Trayectria de integración en el plan cmplej utiliada para el cálcul de ls elements matriciales. integración sbre el crte. La integración a l larg de este crte cnverge rápidamente, siend psible calcular estas integrales cn una precisión de 10-6 (métd de trapecis) Cnservación de la energía Definirems cm ceficiente de transmisión T, al cciente entre la energía transmitida y la energía incidente. El ceficiente de reflexión R será el cciente entre la energía reflejada y la energía incidente. Lueg, la cnservación de la energía se expresa cm R+T=l. (20) Ests ceficientes T y R, en términs de la amplitud del camp transmitid y reflejad, sn dads pr [31 R _ J~~,B(a)B(aW da - J~~,B(a)A(aW da' (21 ) J~:',B(a)C(aW da T = J~,B(a)A(aW da' (22) y la intensidad difractada en el ángul e está dada pr [41 (23)

8 ESTUD TEÓRC Y NUMÉRC 713 En tds ls patrnes de difracción presentads en este artícul la intensidad estará nrmaliada a la intensidad incidente l, es decir, se graficará el cciente 1(8)/1 0. La ley de cnservación de la energía, ns prprcina un de ls principales criteris de valide de nuestrs resultads numérics. En la siguiente sección mstrarems la dependencia del ceficiente de transmisión en función de varis parámetrs ptgemétrics. 3. RESULTADS NUMÉRCS Supndrems en l que sigue que la distribución de intensidades del ha incidente sbre la pantalla es de tip gaussian [2]: l(x) = exp [ 4(x - W] 2. (24) Este ha incide nrmalmente sbre la pantalla, tiene un anch L y se fija su psición cn respect al eje y cn el parámetr b (véase Fig. 1). Lueg, la amplitud A(a) del camp eléctric incidente está dada pr L ( 0:2L2) A(:) = "2exp(-i:b)exp (25) Hasta dnde cncems, ésta es la primera ve que en el prblema de la difracción rigursa pr ds rendijas se cnsidera una nda incidente que n es plana. La tería presentada n es únicamente válida para haces gaussians; en principi, la frma que puede tmar la función A(:) es arbitraria, permitiéndns est el estudi de haces más generales y más realistas, pudiend ser psible simular ls mds de un láser [6) (haces Hermite-Gauss) algín tip de aberración óptica. Para verificar tant la tería cm ls prgramas numérics, hems realiad una serie de pruebas que describirems a cntinuación. Durante tds ls cálculs hems cuidad que se satisfaga la cnservación de la energía (cn una precisión mejr que 10-3 ) y el criteri de aprximacines sucesivas', que cnsiste en aumentar prgresivamente el nímer de ceficientes mdales hasta que se btiene la estabiliación de ls resultads. Nuestras experiencias numéricas ns han mstrad que est curre a partir de 10 ceficientes mdales. La realiación sistemática de estas pruebas ns ha garantiad que ls resultads sn crrects hasta la tercera cifra decimal. tr tip de prueba ha sid la cnsistencia de la tería cn el cas previamente cncid de la difracción pr una rendija [15]. Para est, iluminams cn un ha angst (L = 5l) una de las rendijas y clcams a la tra rendija cnsiderablemente lejs de la primera (d = 30l), bteniéndse un patrón de difracción idéntic al prducid pr una sla rendija. Finalmente, cmparams nuestr~ resultads numérics cn ds terías de la difracción para ds rendijas. Una de ellas es la tería de tsuki [14], publicada en 1990, en la cual se supne que la nda incidente es plana. En nuestras cmparacines utiliams ls misms parámetrs ptgemétrics e iluminams las ds rendijas cn un ha muy anch (L/t = 1000/,;2), centrad entre las rendijas. También tmams en cnsideración que

9 714. MATA-MENDEZ y F. CHÁVEZ-RVAS TABLA. Variación del ceficiente de transmisión cn la lngitud de nda. Autres tuki Nstrs Lngitud de nda' 'Las rendijas sn iluminadas a incidencia nrmal pr una nda plana cn: l = 2 Y d = <t <t N :i <t ::;: a: <t C/) W 1- Z 3 2 f\ /"'. /'. r-. /' ANGULa (GRADS) FGURA 3. Patrón de difracción nrmaliad (l(b)1 l) de un ha gaussian, que incide nrmal. mente sbre ds rendijas. La tería de Rayleigh-Srnmerfeld y la tería rigursa dan el mism resultad, cn>. = 0.05, L = , l = , b = 1.25 Yd = 0.5. tsuki define el ceficiente de transmisión cm el cciente entre la energía transmitida y la energía incidente que llega a las ds rendijas. En la Tabla 1, utiliand la definición de tsuki, mstrams algunas de las cmparacines realiadas, bservándse una buena cncrdancia, principalmente para grandes lngitudes de nda. La segunda tería de la difracción cn la que cmparams nuestrs resultads fue la tería aprximada de Rayleigh-Smmerfeld. Encntrams que esta tería y la nuestra (rigursa), dan el mism resultad en la región escalar, en cncrdancia cn l establecid en el artícul previ (1). El patrón de difracción mstrad en la Fig. 3, btenid en las ds terías, fue calculad cn ls siguientes parámetrs: ), = 0.05, L = , l = , 8 0 = 0, b = 1.25 Y d = 0.5. Ests valres ns dan un espectr que cae just entre la frntera de la región escalar y la región vectrial (>'l es igual a ). ils espectrs así btenids fuern idéntics hasta la tercera cifra significativa! En la Fig. 4 mstrams cóm varía el ceficiente de transmisión T en función de la lngitud de nda), (nrmaliada al anch l de una rendija). En esta gráfica el cciente ),1 l varía de 0.2 a 2.5, es decir, en la región vectrial. El ha incidente tiene un anch

10 ESTUDTEÓRCY NUMÉRC º(f) ~ 06 <t :: f- ~ 04 w f- Z \!! 0.2 u u. w u LNGTUD DE NDA / ANCH RENDJA FGURA 4. Ceficiente de transmisión en función de la lngitud de nda (nrmaliada al anch de la rendija): L/t = , d/t = 0.5 Y b/t = L/e = , una separación entre rendijas die = 0.5 Y un acercamient a las rendijas ble = L primer que ntams de la figura es la presencia de unas scilacines de amplitud creciente, que se extienden a l larg de tda la gráfica. Estas scilacines también están presentes en el cas de una sla rendija (1), sól que ls valres del ceficiente de transmisión sn distints. Más aún, si cmparams la Fig. 4 cn la Fig. 3 de para una rendija, en dnde se han utiliad ls misms parámetrs, ntarems el interesante resultad que la psición de ls máxims y ls mínims cinciden en ambas figuras. Para la Fig. 4, ls máxims y mínims se lcalian en Aje = , ,0.3725, , , Y , mientras que para la Fig. 3 de en las psicines >le = , ,0.3725, , , Y bservams que en general las. ds series cinciden hasta la cuerta cifra, salv :,r ls últims valres ( y ), debid a prblemas numérics (la cnservación de la energía n se verificó cn buena precisión para ds rendijas). En este últim cas, el valr crrect debe ser el de una rendija (1.7853j. De ests resultads, hacems la cnjetura, que para tres más rendijas se tendrá un cmprtamient similar al de la Fig. 4, cn ls máxims y mínims lcaliads en la misma psición que para una rendija. Finalmente, cmentarems que estas scilacines sn una prpiedad del carácter vectrial del camp eléctric y que n pueden ser predichas pr la tería de Rayleigh-Smmerfeld, cm puede verse en la Fig. 3 de la Ref. [l]. Ls ceficientes de transmisión de la Fig. 4 indican la cantidad de energía que pasa a través de las ds rendijas, sin embarg, de ests valres n es psible cncer directamente cóm se distribuye esta energía en el espaci. Para remediar esta situación, en la Fig. 5 se presentan alguns de sus patrnes de difracción para >.e = 0.4, 0.8, 1.5 y 2.5. Ests espectrs ns muestran que, para lngitudes de nda cerca de la región escalar, ls patrnes de difracción scilan much, cncentrándse prácticamente tda la energía transmitida alrededr de (J = 90, es decir, cerca de la nrmal a la pantalla. Cuand el cciente

11 716. MATA-MENDEZy F. CHÁVEZ-RVAS NTENSDAD NRMALZADA p ~ '" :.. :.. X) :.. X) '" t>j»0 Gl(J) c r 0<0 ~ Gl ::0-»N y y 00 y y ~ ~ ~ >::: <fl(ji ~ f\l (J (J (Xl.t> ()) FGURA 5. Patrnes de difracción nrmaliads (1(0)/10) que en la Fig. 4 Y A/l = 0.4, 0.8, 1.5 Y 2.5. para ds rendijas. Misms parámetrs >'/l aumenta, el númer de scilacines disminuye, alcanand el patrón de difracción grandes valres angulares, y desapareciend finalmente las características scilacines de un patrón de difracción en la óptica tradicinal. Es interesante cncer si el métd clásic de determinar ls máxims y mínims de un patrón de difracción, mediante la diferencia de camins óptics, se aplica también en la región vectrial. La utiliación de este métd ns cnduce a determinar ls máxims a partir de la siguiente expresión >. csll = m (i + d) (m =, 1,2,3,... ), (26) mientras que la determinación de ls mínims es dada pr >./2 csll = m(i+d) (m = 1,3,5,7,... ), (27) dnde ~ 11 ~ 7f /2. En la Fig. 5, señalams cn flechas pequeñas (únicamente para la parte iquierda de cada patrón) las psicines angulares de ls máxims (salv el máxim central) y mínims btenids a partir de estas ds últimas ecuacines. Cm se bserva en esta figura, el métd de diferencia de camins óptics es capa, para el valr >'/i = 0.4, de prever muy bien la psición de tds ls máxims y mínims cn un errr relativ máxim de 0.1. Cuand este cciente aumenta, >'/i = 0.8, también determina cn muy buena precisión tant el primer mínim cm el primer máxim secundari, per es incapa de predecir la existencia de un segund máxim secundari en 11= A partir

12 EsTUD TEÓRC Y NUMÉRC 717 '2 B () 04, (.1 _ a~., ~ "!-3 ~ j ~ ta ANGUL (GRADS) FGURA 6. Patrón de difracción nrmaliad, en transmisión (a) y en reflexión (b), de un ha gaussian que incide nrmalmente sbre ds rendjjas en una pantalla infinitamente cnductra e infinitamente delgada, cn A/l = 0.8, L/l = 5/";2, d/l = 0.5 Y b/l = En (e) se muestra la superpsición de ls ds patrnes en una escala semilgarítmica. de A/ l = 1.5, la Ec. (26) indica que n hay máxims secunaris, en franca cntradicción cn las ds últimas gráficas. De ests resultads pdems cncluir que el métd de diferencia de camins óptics es capa de predecir cn muy huena precisión, al mens, la lcaliación del primer máxim si >'(l + d) < 1, y entre más cerca se esté de la región escalar puede prever más máxims secundaris, así cm sus respectivs mínims. Sin embarg, si >'l > 1, este métd falla rtundamente en la determinación de la psición de ls máxims. Este ejempl ns muestra que n siempre es crrect extraplar resultads válids en la región escalar a la región vectrial. Existe una prpiedad, pc cncida, per muy imprtante, entre ls patrnes de difracción y ls patrnes de reflexión generads pr una nda escalar arbitraria que incide sbre una abertura en una pantalla infinitamente delgada [8]. Esta prpiedad señala que, salv pr la reflexión especular, ambs patrnes cinciden. Prpiedad válida si se admite que el camp escalar su derivada nrmal se anulan en la pantalla. Es nuestra intención verificar esta prpiedad en la región vectrial, cuand ds rendijas sn iluminadas pr un ha gaussian en plariación T.E. En la Fig. 6a y 6b graficams ls patrnes en reflexión y en transmisión para Al = 0.8, Ll = 5/../2, bll = 1.25 y dll = 0.5. Para mayr claridad, en la Fig. 6c hems superpuest, en una escala semilgarítmica, ests ds patrnes. Es srprendente ver cóm la prpiedad mencinada se verifica muy bien. Cnsiderams que este resultad es muy interesante, debid a que puede servir cm una prueba, en la región vectrial, de terías rigursas y aprximadas. En la Fig. 7 se muestra cóm varía el ceficiente de transmisión en [unción del anch del ha incidente (L/l), para >'l = 1, dll = 0.5 y bit = 1.25 (punt medi entre rendijas).

13 718. MATA-MENDEZ y F. CHÁVEZ-RVAS !! ::l; (f) 0.5 '" a:: '" 0.3 '" '" u "- 0.1 '" u 10/12" 20/12" ANCH PAQUETE! ANCH RENDJA 30/12" FGURA 7. Variación del ceficiente de transmisión en función del anch del ha incidente (L/e), para A/e = 1.0, d/ e = 0.5 Y b/ e = En esta gráfica bservams un máxim aprximadamente cuand L/e = ; a partir de este valr, T disminuye rápidamente cnfrme aumenta L/e, para finalmente cnverger asintóticamente a cer para grandes valres de L/e. Pdems explicar fácilmente ests ds rasgs. Cm se ha mencinad, L es el anch de la distribución de intensidad gaussiana sbre la pantalla, esta distribución de intensidad tiene asciada una distribución gaussiana de camp eléctric (incidente) en la pantalla. De la Ec. (24) puede prbarse fácilmente que esta última distribución gaussiana tiene un anch A = (2)1/2 L. En términs de este anch A, el máxim en la Fig. 7 se alcana cuand A/ e es aprximadamente 2.6. Pr tr lad, la separación entre ls brdes exterires de las ds rendijas es 2.5; lueg, entnces, si disminuims el valr de A/e a partir de 2.6, el camp eléctric incidente cmiena a n cubrir ambas rendijas, disminuyend la energía transmitida y pr tant el valr de T. Per si aumentams el valr de A/ e, el camp eléctric cntinúa cubriend ambas rendijas, manteniéndse prácticamente cnstante la energía transmitida, y cm la energía incidente aumenta, da cm cnsecuencia que el ceficiente de transmisión disminuye, para anularse finalmente cuand L/e es infinit (energía incidente infinita). Este ranamient está de acuerd cn el hech de que la psición del máxim es prácticamente independiente de A. Pr l que respecta a ls patrnes de difracción (n ilustrads), hems encntrad que la psición de ls máxims y mínims de interferencia permanecen prácticamente inalterads cuand A/e > 2.6, es decir, la psición es independiente del anch del ha incidente. Pr ejempl, la diferencia relativa máxima, en la psición, para L = 5/)2, L = 40/)2 y L = 320/)2, es de En la Fig. 8, presentams la infl uencia de la psición del ha en el ceficiente de transmisión, para L/e = , A/e = 0.8 y d/e = 0.5. La psición del ha está determinada pr el parámetr b, cm se ilustra en la Fig. 1. De la Fig. 8, se bserva que el valr máxim de T se alcana cuand el centr del ha se lcalia entre las ds rendijas, es decir, en la

14 ESTUD TEÓRC Y NUMÉRC J 719.5!!j ~0.4 <[ cr f w ~02 w ~ 0.1 lj.. w u ACERCAMENT / ANCH RENDJA FGURA 8. nfluencia de la psición del ha (b/e) en el ceficiente de transmisión: L/e = , >/e = 0.8 Y d/e = psición de simetría de la cnfiguración. Además, el valr de T disminuye cnfrme el ha se aleja de esta psición. Este resultad es cmpletamente análg al btenid para una rendija [4], en la cual el máxim de T se alcana también en su psición de simetría. Pr l que respecta a ls patrnes de difracción en función del parámetr b, ésts n presentan cambis imprtantes, únicamente disminuyen en intensidad cnfrme el ha se aleja de su psición de simetría. Pr últim, en la Fig. 9, presentams el ceficiente de transmisión cm función de la separación entre rendijas (dlf). Supnems que las rendijas sn iluminadas pr un ha muy anch y que el centr del ha está fij en el centr de una de las rendijas: Llf = , >'f = 0.8 y blf = 0.5. El ha incidente se esc~gió muy anch (nda plana) para asegurar que las ds rendijas estén siempre iluminadas cuand se aumenta la separación. Cn esta gráfica ilustrams la influencia de una rendija sbre la tra, es decir, mstrams el acplamient entre rendijas. De esta figura, y tras similares, hems btenid resultads nuevs acerca de la difracción pr ds rendijas y que pdems resumir cm sigue: ) El acplamient da lugar a una función scilante de amplitud decreciente cnfrme se incrementa la separación entre las rendijas. 2) Se tiene el imprante resultad de que, en la regln vectrial, la separación entre máxims (períd de scilación) es precisamente >.. Un cmprtamient similar se há bservad cuand se analia el camp eléctric en el interir de ds canales rectangulares [16J, separads pr una distancia d. En la Fig. 10, mstrams cm evlucinan ls patrnes de difracción cuand se aumenta la separación entre rendijas.

15 720. MATA-MENDEZ y F. CHÁVEZ-RVAS º lj) :le lj) Z <1 a:: f w w f- Z \!! u l1. W u SEPARACN / ANCH RENDJA FGURA 9. Acplamient entre ds rendijas. El ceficiente de transmisión en función de la separación de las rendijas (dfl), para Lfl = 5fV2, >'fl = 0.8 Y bfl = d,".004 '" 012 '" '::'.008 -' '" :> 004 dll" 2 '".012 '" 008 '"Z.004 '" f- ~ , ANGUL (GRADS) FGURA 10. Patrnes de difracción nrmaliads (J(9)f l) para varias separacines entre rendijas, dfl = 0,2,4 Y 8 cn Lfl = 500fV2, >'fl = 0.8 y bfl = 0.5.

16 ESTUD TEÓRC Y NUMÉRC CNCLUSNES En este artícul hems presentad pr primera ve una tería rigursa de la difracción pr ds rendijas en una pantalla metálica de cnductividad infinita e infinitamente delgada (para haces gaussians en plariación T.E.). Hems mstrad la influencia de cierts parámetrs ptgemétrics en el patrón de difracción y el ceficiente de transmisión y hems estudiad el acplamient entre rendijas. Lueg, cm la tería de este artícul es rigursa, cnsiderams que puede servir para verificar la valide de tras terías de la difracción (rigursas aprximadas). AGRADECMENTS Ls autres expresan su agradecimient al M. en C. Artur Zúñiga Segund pr su ayuda en la elabración de ls prgramas numérics. También se agradece el apy de CFFA- PN. REFERENCAS 1. Jeffrey J. Regan y David R. Andersen, Cmputers in Physies (jan/feb. 1991) Mata-Ménde, pt Lett. 16 (l991) Mata-Ménde, Rev. Mex. Fís. 38 (1992) Mata-Ménde y F. Cháve-Rivas, Rev. Mex. Fís. 39 (1993) Mata-Ménde, Phys. Rev. B37 (1988) A. Zúñiga-Segund y. Mata-Ménde, (Rapid Cmm.) Phys. Rev. B46 (1992) Jseph W. Gdman, lntrduetin t Furier pties, MeGraw-Hil, Bk Cmpany, Newy Yrk (1968) Cap.. 8. C.J. Buwkamp, Rep. Pragr. Phys. 17 (1954) D.L. Jain y R.P. Kanwal, Can J. Phys. 50 (1972) R.P. Kanwal y B.K. Sachdeva, Z. Angew. Math. Phys. 24 (1973) K. Saermark, Appl. Sci. Res. B7 (l960) K. Saermark, Appl. Sei. Res. B8 (1960) B.K. Sachdeva y R.A. Hurd, Can. J. Phys. 53 (1975) Takur tsuki, J. pt ScAm:7 (1990) Mata-Ménde, M. Cadilhac y R. Petit, J. pt ScAm. 73 (l983) Resultad inédit.

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