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Tema 2: Los números enteros (Z)


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1 Tema 2: Los números enteros (Z) Por qué introducir los números enteros? Para dar respuesta a necesidades de cálculo en la práctica. Por necesidades propias de la aritmética (para hacerla completa ). Cómo introducir los números enteros? 1 Es un detalle importante: Los números enteros son el primer concepto abstracto con que se encuentra un estudiante. De hecho, hace unos pocos cientos de años los matemáticos discutían sobre si los números enteros son realmente números.

2 Definición de números enteros Cómo introducir los números enteros? 1. Z =..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Problema: cómo se opera con ellos? 2. Los enteros son pares de números naturales: (5, 2), (7, 4), (15, 12) representan al entero +3. (3, 7), (1, 5), (15, 19) representan al entero Recurriendo a la geometría: la recta de los enteros Un número entero es un vector. La longitud es el valor absoluto. El signo da la dirección.

3 Algunos ejemplos de libros 3 Pedro Ramos, Dpto. de Matema ticas (UAH). Matema ticas I. Grado de Educacio n Primaria. Curso

4 Algunos ejemplos de libros 4 Pedro Ramos, Dpto. de Matema ticas (UAH). Matema ticas I. Grado de Educacio n Primaria. Curso

5 Algunos ejemplos de libros 5

6 Operaciones con números enteros Cómo se suman números enteros? (+2) + (+3) = = (+2) + ( 5) = = 3 6 Antes de pasar a la resta, un comentario importante: En expresiones como (+2) + ( 3) = 1, (+2) (+3) = 1 hay signos + (y ) que significan cosas distintas.

7 Operaciones con números enteros Una idea para evitar confusiones al principio: ( + 4) ( 3) ( + 5) + ( + 3) =... 7

8 8 Operaciones con números enteros Cómo se restan números enteros? 0 1. Analogía con los naturales = 2 2. Introduciendo una idea nueva (e importante): el opuesto. El opuesto de un número entero a es aquél que al sumárselo da como resultado el Restar es lo mismo que sumar el opuesto Cuál es el opuesto de +5? Cuál es el opuesto de 3? 5 3 = 5 + ( 3)

9 Resta de números enteros 3. Usando la idea de distancia con signo Para números naturales, positiva o negativa según cuál sea el mayor. 5 3 = = 2 Se generaliza al resto de los casos: 0 4 ( 2) = (+4) = 2 ( 5) = 5 ( 2) = 9

10 Operaciones con números enteros Ya podemos quitar los paréntesis en expresiones del tipo ( 3) + ( 5) (+4) + (+2) + ( 3) ( 7) es decir, ya tenemos una regla de los signos. ( 3) + ( 5) (+4) + (+2) + ( 3) ( 7) = = 6 En la última igualdad, hemos utilizado que la suma de números enteros (ya no hablaremos de la resta) cumple las siguientes propiedades: 1. es conmutativa, 2. es asociativa, 3. existe un elemento neutro (el 0), 4. todo elemento tiene un opuesto. 10

11 Orden en Z, valor absoluto Tener la recta de los enteros nos permite dar dos visiones alternativas de la relación de orden: 1. Dados dos números enteros a y b, se dice que a b si b a Dados dos enteros a y b, se dice que a b si el extremo del vector a está a la izquierda del extremo del vector b. Ejemplos: 8 7, 1 2, 2 5. El valor absoluto de un número entero a es la longitud del vector correspondiente. En otras palabras, a = { a si a 0 a si a < 0 Ejemplos: 8 = 8, 3 = 3. 11

12 El producto de números enteros Hay que darle sentido a una expresión como ( 2) ( 3), es decir, 2 veces 3. Si queremos que el producto de números enteros tenga las mismas propiedades que el producto de números naturales (en particular, la propiedad distributiva), entonces ( 1) a tiene que ser el opuesto de a, es decir, ( 1) a = ( a). De aquí sale la regla de los signos : (+2) (+3) = +6. ( 2) (+3) = ( 1) (+2) (+3) = ( 1) (+6) = ( 2) ( 3) = ( 1) (+2) ( 1) (+3) = (+2) (+3) = +6.

13 Orden de las operaciones Con el fin de simplificar en lo posible las expresiones, se establece la siguiente prioridad en las operaciones: - Los paréntesis se efectúan de dentro hacia afuera. - La multiplicación y la división tienen prioridad sobre la suma y la resta. Ejemplo: 3 (4 : (7 10 : 2)) (4 + 6) : (2 + 3) { 5 { { = 3 (4 : 2) = = 2. { 5 13

14 Ejercicios Calcula a) 2 (10 : (5 8) 6 : (1 + 4 : 2)). b) ( 4) (2 (3 5) 2 (4 : 2 + 3) (5 + 8 : 2)). Coloca los paréntesis necesarios para que cada expresión tenga el valor indicado: a) 36 : = 2. b) = 5. c) =

15 Repaso de potencias Potencias de exponente natural: 1. a n a m = a n+m 2. (a n ) m = a n m 3. a n /a m = a n m Las propiedades anteriores se generalizan a exponentes enteros. Por ello, 1. a 0 = 1 2. a n = 1 a n Y a exponentes racionales. Por ello, a 1/n = n a. Y, en general, a p/q = q a p. La potencia de un producto (y un cociente) son sencillas: 1. (a b) n = a n b n 2. (a/b) n = a n /b n 15

16 Ejercicios 1. Si = 2 m, cuánto vale m? 2. Si = 3 r, cuánto vale r? 3. Si y 3 = 27, cuánto vale y? 4. Si 9 r = 243, cuánto vale r? 5. Si 27 s = 1 9, cuánto vale s? 6. Si x 1/3 = 2, cuánto vale x? 7. Simplifica Calcula

17 Introducción al lenguaje algebraico La aritmética se ocupa de las operaciones con números. El álgebra se ocupa de las operaciones con símbolos. El álgebra es muy antigua. Griegos y babilonios hacían razonamientos algebraicos. Los matemáticos de la Edad Media hablaban de la cosa (para referirse a la incógnita). En el siglo XVI se introducen los símbolos modernos. 17

18 Introducción al lenguaje algebraico Permite enunciar propiedades generales: Para cualesquiera a y b, se cumple que a + b = b + a. Permite razonar sobre cantidades desconocidas, estableciendo relaciones entre ellas: Juan se ha presentado a un concurso en el que le hicieron 40 preguntas. Le daban 150 euros de premio por cada respuesta acertada, y le restaban 60 euros por cada fallo. Si no podía dejar preguntas en blanco y se llevo 4530 euros de premio, cuántas respuestas acertó? 150x 60 (40 x) = 4530 Permite manipular expresiones como la anterior (ecuaciones) y encontrar las soluciones. 18

19 Breve repaso de ecuaciones lineales Resolver una ecuación como 150x 60 (40 x) = 4530 es encontrar el valor de x para el que se cumple la igualdad. La x se encuentra ( despeja ) utilizando estas dos propiedades de las igualdades: 1. Si a los dos términos de una igualdad se le suma un mismo número, la igualdad sigue siendo cierta. 2. Si los dos términos de una igualdad se multiplican por un mismo número, la igualdad sigue siendo cierta. 19

20 20 Problemas Un padre tiene 47 años y su hijo 11. Cuántos años tienen que pasar para que la edad del padre sea el triple que la del hijo? De un número de dos cifras sabemos que al invertir el orden se obtiene un número 36 unidades mayor. Encuentra el número sabiendo que la suma de las cifras es 10. En un garaje hay 110 vehículos, entre coches y motos. Si hay en total 360 ruedas, cuántos coches hay? Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, con la mala fortuna de que se tropieza y se le rompen 2/5 de los que llevaba. Entonces vuelve al gallinero, recoge 21 huevos más, y resulta que ahora tiene 1/8 más de los que tenía al principio. Cuántos huevos tenía al principio?

21 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab. Cuadrado de una suma a b ab a 2 b 2 ab Área total: (a + b) 2 Descompuesta en cuadriláteros: a 2 + b 2 + 2ab a b (a b) 2 = (a + ( b)) 2 = a 2 + b 2 2ab Calcula (2x 3y) 2 + (x/2 + y/3) 2. 21

22 Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado es una expresión de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números conocidos. Ejemplo: encuentra las soluciones de la ecuación x 2 + 4x 12 = 0. Las soluciones de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 vienen dadas por la fórmula x = b ± b 2 4ac 2a 22

23 Lógica Una proposición es una oración declarativa que es cierta o falsa, pero no ambas cosas a la vez. Ejemplos de proposiciones: a) Madrid es la capital de España. b) = 7. c) Existen infinitos números primos. No son proposiciones a) Hace frío? b) Préstame el libro, por favor. c) Me gustaría sacar buena nota en matemáticas. 23

24 Operaciones con proposiciones La negación de la proposición p se denota p, p ó p. La conjunción de p y q, denotada p q, es la proposición que es cierta cuando tanto p como q son ciertas (y falsa en cualquier otro caso). La disyunción de p y q, denotada p q, es la proposición que es cierta cuando al menos una de las proposiciones p y q son ciertas (y falsa, por tanto, cuando p y q son falsas). Ejemplo: considera las proposiciones: p Esta tarde haré deporte q Esta noche iré al cine 24 Cuáles son las proposiciones p, p q, p q?

25 La implicación La implicación es la base del razonamiento (no sólo del razonamiento matemático). La expresión p q se lee si p, entonces q o p implica q p q dice que si p es cierta, entonces q también es cierta (y no dice nada en el resto de los casos). Consideremos las proposiciones: p Toby es un perro sano q Toby tiene cuatro patas Estudia si son ciertas las implicaciones a) p q b) q p c) p q d) q p 25

26 26 La implicación El error más frecuente en lógica es confundir la implicación p q con p q o con q p. Ojo: si sabemos que p q es cierta, - si p es falsa, no podemos asegurar que q sea falsa. - si q es cierta, no podemos asegurar que p sea cierta. Considera las proposiciones: p: a y b son números pares q: a + b es par Estudia si son ciertas las implicaciones a) p q b) q p c) p q d) q p Obs: Si p q es cierta, entonces q p también es cierta. contrarrecíproca

27 27 Juegos de lógica De caballeros y escuderos: En una isla hay dos tipos de habitantes: los caballeros, que siempre dicen la verdad, y los escuderos, que siempre mienten. Supongamos que nos encontramos a dos habitantes. A nos dice B es un caballero y B nos dice Los dos somos de tipos opuestos. Qué son A y B? El dilema del prisionero: Un prisionero está encerrado en una celda con dos puertas. Una de ellas conduce a la libertad; la otra, a otra celda sin salida. En cada celda hay un guardián. El prisionero sabe que un guardián siempre dice la verdad, y el otro siempre miente, pero no sabe identificarlos. Le permiten hacer una sola pregunta. Qué pregunta podría hacer el prisionero para conseguir la libertad?

28 Ejemplos de razonamiento lógico Puedes extraer alguna conclusión de las siguientes afirmaciones? - Si juego al fútbol, estoy dolorido al día siguiente - Uso la bañera de hidromasaje si estoy dolorido - Ayer no utilicé la bañera de hidromasaje. Estudia si el siguiente razonamiento es o no correcto, y explica por qué. Todos los estudiantes de Ingeniería estudian Cálculo diferencial. Julia estudia Cálculo diferencial. Por tanto, Julia es estudiante de Ingeniería. 28

29 Un juego de lógica Jugamos con una baraja de cartas que tienen un número en una cara y un color en la otra. 3 8 Averigua a qué carta (o cartas) debo dar la vuelta para comprobar si la siguiente proposición es cierta o no: Si una carta muestra un número par por un lado, entonces la cara opuesta es roja 29

30 Tipos de argumentos matemáticos: demostraciones Supongamos que queremos comprobar que la proposición p q es cierta. a) Demostración directa. Comprobamos que si p es verdadera, entonces q es verdadera. Ejemplo: da una demostración directa del resultado Si n es impar, entonces n es impar 30 b) Demostración indirecta. Utilizando el hecho de que p q y q p son equivalentes. Ejemplo: da una demostración indirecta del resultado Si n es par, entonces n es impar

31 Tipos de demostraciones c) Demostración por reducción al absurdo. Con el fin de demostrar que p es cierta, demostramos que p implica una contradicción. Ejemplo: demuestra (por reducción al absurdo) que 2 no es racional d) Demostración por casos. Demuestra, considerando casos, el siguiente resultado: Si n es par, entonces n 4 termina en 0 ó en 6 31

32 Gráficas. Interpretación. Supongamos que ponemos un cubo vacío en el jardín, y que medimos la altura que alcanza el agua de la lluvia una tarde de tormenta. Representamos los datos y obtenemos la gráfica de la figura. Qué podemos decir del tiempo esa tarde? altura mm 32 4h10 4h20 4h30 4h40 4h50 5h00 5h10 5h20 5h30 5h40

33 Gráficas. Interpretación. Ahora la gráfica representa la altura del agua en la bañera mientras Felipe se da un baño. Qué se puede decir de cómo ha ido el baño? altura tiempo

34 Gráficas. Representación. Veamos ahora el problema inverso. Tenemos recipientes como los de la figura, y nos ponemos a llenarlos con un grifo de caudal constante. Medimos la altura alcanzada por el agua en distintos momentos. Qué aspecto tendría la gráfica en cada caso? (1) (2) (3) (4) (5) (6) 34

35 Ejercicio Luis salió de su casa a las 8:40, andando hacia el colegio. Iba andando, a velocidad constante, hasta que a las 8:45, cuando pasaba por delante de la tienda de caramelos, se dio cuenta de que se había olvidado el bocadillo. Volvió corriendo a su casa, recogió el bocadillo, y a las 8:50 volvía a pasar por delante de la tienda de caramelos. Dejó de correr, y siguió andando hasta las 8:55, cuando se dio cuenta de que iba a llegar tarde, de manera que hizo un último esfuerzo y volvió a echar a correr, para conseguir llegar a las 9 a su colegio. Dibuja una gráfica que represente la distancia de Luis hasta el colegio, en función de la hora. 35

36 Un problema de PISA (2000) 1. Cuál es la distancia aproximada desde la ĺınea de salida hasta el comienzo del tramo recto más largo que hay en la pista? 2. Dónde alcanzó el coche la velocidad más baja durante la segunda 36 vuelta?

37 Un problema de PISA (2000) 3. Qué se puede decir sobre la velocidad del coche entre el km. 2,6 y el 2,8? 4. En la figura aparecen 5 circuitos. Sabrías decir en qué circuito corrió el coche de la gráfica anterior? 37

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