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TP1 Programación Lineal


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1 Problema Trabajo Práctico Nº 1 de cerdo. Una carnicería 1 La carne prepara vaca hamburguesas contiene 80% con de carne una combinación y 20% de grasa de carne y le molida cuesta de $5 vaca el kilo, y carne la carne molida de cerdo Modelar contiene hamburguesa, el 68% problema de si carne se para desea y averiguar 32% minimizar de grasa que el cantidad y costo le cuesta de de fabricación $3 cada el kilo. tipo de y mantener carne se el debe contenido emplear de en grasa un kilo no Problema mayor Resolver del gráficamente. 25%. a) pasar Una fabrica 2 maquinado por maquinado y 2, 1.5, de artículos 5 y 3 horas armado. del para hogar Los el fabrica armado. productos cuatro Las requieren ganancias productos 4, por diferentes, 5, unidad 3 y 5 de cada horas producto uno respectivamente de son los de cuales $7, $7, debe para $6 b) y 40 $9 horas El respectivamente. fabricante tiene y horas semanales disponibles para maquinado armado (500 (750 operarios operarios trabajando trabajando cada horas semanales). Formular un problema de programación lineal para determinar cuántas unidades 40 que todo producto lo fabricado debe fabricarse puede venderse durante sin una importar semana el de plazo manera para ello. de maximizar las ganancias. Considerar compañía Problema Dos fábricas 3 que controla manufacturan las fábricas 3 tipos tiene diferentes contrato para de suministrar papel. Existen 16 toneladas demandas para tipo cada A de papel, tipo. La operar toneladas segunda. del B y 20 La toneladas fábrica N del 1 produce C. Cuesta 8 tns del $1000 tipo por A, 1 día operar del tipo la B primera y 2 tns fábrica del tipo y C $2000 diariamente. por 5 La debe fábrica operarse N 2 cada produce fábrica 2 tns a fin del de tipo satisfacer A, 1 ton las del órdenes tipo B de y 7 la tns manera del tipo más C económica? diariamente. Cuántos días Problema Formular Hallar solución el modelo geométricamente. de programación lineal que represente el problema. período Una compañía 4 desea planificar producción de dos ítems con demandas estacionales sobre un a) octubre, de noviembre 12 meses. y diciembre; La demanda mensual del ítem 1 es los de meses de unidades enero, febrero, durante marzo los meses y abril, de y b) unitario meses unidades de octubre producción durante a febrero, de el los resto ítems y del 1 año. y unidades 2 La de demanda $5 durante y $8 del respectivamente, los ítem restantes 2 de meses siempre Suponga unidades que el que producto durante el costo los fabrique instalación antes de junio. Después de junio, los costos unitarios se reducen a $4.50 y $7 debido a se pueden fabricarse de un durante sistema cualquier de manufactura mes no pueden mejorado. exceder Las cantidades para totales enero-setiembre de los ítems y y 2 para que la octubre-diciembre. dm3. mantenimiento Suponga en que stock Además, el espacio por dm3 cada para durante unidad stock del un primer mes máximo es ítem $0.10. permitido ocupa Formular 2 es dm en este stock, problema dm3 y las y del de que segundo manera el costo que ítem de el 4 1

2 Problema costo total de producción más los costos stock sean mínimos. Esto Una creó compañía 5 un exceso manufacturera considerable descontinúo capacidad la producción de producción. de cierta La línea gerencia de productos quiere no dedicar redituable. esta capacidad disponible a uno o más de cada tres máquina productos; que llámense puede limitar productos la producción: 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la Tipo Fresadora de máquina (horas-máquina Tiempo disponible Torno por semana) El número de horas-máquina Tipo Rectificadora que se requiere para cada 150 Fresadora de máquina Producto 91 Producto unidad 3 2 de Producto los productos 53 respectivos es: El departamento de ventas Rectificadora Torno ha indicado que las 35 ventas potenciales 04 de los 20 capacidades semana. La ganancia máximas de unitaria producción sería de y que $50, las $20 ventas y $25, potenciales respectivamente del producto para productos 3 son los veinte 1 y 2 unidades exceden 1, 2 por las Formule deben un modelo de programación lineal para determinar cuántas unidades de los productos 1, 2 y 3. Problema producirse 6 semanalmente de manera de maximizar el beneficio. 3 ofrecen ambos Suponga casos, la oportunidad que la inversión acaba de de participar significa heredar como dedicar $6000 socio y un desea en poco dos invertirlos. de negocios, tiempo Al el cada oír siguiente esta uno noticia planeado verano, dos por al amigos igual uno de que distintos ellos. invertir En le su proposición efectivo. ganancia Con del estimada el primer segundo (ignorando amigo amigo al convertirse son el valor $4000 de en y su 500 socio tiempo) horas, completo sería con tendría $4500. una ganancia que Las invertir cifras estimada correspondientes $5000 de y 400 $4500. horas, a Sin y embargo, sociedad; usted está ambos la buscando participación amigos un trabajo son en las flexibles interesante utilidades y le permitirían sería para el proporcional verano entrar (600 en a horas el esa negocio fracción. a lo sumo), con Como cualquier ha decidido todas fracción participar maneras de la en problema Problema una o que ambas 7 le permitiría propuestas, obtener con la mejor combinación combinación. que maximice Resuelva la el ganancia problema total geométricamente. estimada. Formule el mantener proporcional Un avión el avión de carga balanceado, tiene tres el compartimentos peso de la carga para en almacenar: los respectivos delantero, compartimientos central y trasero. debe Para Estos compartimentos a su capacidad tienen peso. un límite de capacidad tanto en peso como espacio. Los datos ser resumen en la siguiente tabla: 2

3 Compartimiento Delantero Capacidad (toneladas) de peso Capacidad de espacio Central (pies cúbicos) Se tienen ofertas Carga para Trasero cuatro cargamentos 10 un vuelo próximo ya Peso (toneladas) 20 Volumen (pies 500 cúbicos) Ganancia que se 320 cuenta ($/tonelada) con espacio: carga ganancia Se debe puede aceptarse cualquier (si se acepta) fracción y de cómo estas distribuirla cargas. El objetivo en los compartimentos es determinar qué para cantidad maximizar de cada Problema del 8 vuelo. Modelar el problema. la hornos la atmósfera: Como para resultado producir partículas, hierro proceso óxido y los sulfúrico, de hornos producción, e abiertos hidrocarburos. una para fábrica convertir Las de fuentes acero el hierro de emite contaminación en tres acero. tipos De de son contaminantes acuerdo dos: los altos las a decisiones como se indica gubernamentales a continuación: Contaminante la fábrica tiene Reducción que reducir requerida anualmente (en toneladas) emisión de los contaminantes Óxido Hidrocarburos Partículas sulfúrico Aumentar Utilizar Para filtros reducir la altura en la las emisión, de chimeneas. las chimeneas. los ingenieros proponen las siguientes medidas: Introducir Cada medida filtros tiene los Chimeneas asociado combustibles. los más siguientes altas Utilizar costos anuales filtros chimeneas de aplicación Utilizar (en miles filtros de combustibles pesos): cantidades Con estas de los medidas, contaminantes Chimeneas aplicadas en más la a medida cada altas uno especificada Utilizar de los filtros hornos, chimeneas la siguiente se consigue Utilizar tabla (en eliminar filtros toneladas): combustibles anualmente las Contaminantes Partículas hornos Altos 12 abiertos Hornos 9 hornos Altos 25 abiertos Hornos 20 hornos Altos 17 abiertos Hornos Óxido Hidrocarburos sulfúrico Hornos Altos hornos abiertos

4 medida respectivamente, Estas medidas pueden ser aplicadas total o parcialmente. Por ejemplo, si se aplica en su totalidad Se desea 1, determinar conseguirá mientras un que reducir plan si se óptimo la aplica emisión que, en el de aplicando 50% contaminantes se conseguirá las medidas en una 12, expuestas reducción 35 y 37 (total de miles 6, 17.5 o parcial) de y toneladas, en los hornos Problema Una emisores, compañía 9 consiga petrolera el índice produce de dos mayor tipos reducción de gasolina, de normal polución y con super, el menor que vende costo a posible. de combustible servicio nacional a 120 y y 140 extranjero $/barril de respectivamente. sus almacenes, y Ambos debe cumplir tipos de las siguientes gasolina se especificaciones: realizan sus mezclando estaciones Normal Presión máxima de vapor Octanaje 88 mínimo Demanda (barriles/semana) máxima Entregas (barriles/semana) mínimas Las características Súper del 23 combustible Presión disponible de 93 en el almacén son: Nacional Vapor 25 máxima Octanaje mínimo 87 Barriles almacén en ($/barril) Costo Plantear un problema Extranjero de programación 15 lineal que 98 permita determinar las 150 cantidades 80 nacional beneficios y extranjero que deben mezclarse para producir las dos gasolinas y obtener de los combustible NOTA: Los semanales. componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de acuerdos máximos porcentaje Problema 10 la mezcla. a su entre islas Se Baleares Madrid ha concedido y e las interinsulares. islas, permiso así como a Para un nuevo aviones ello, debe operador comprar hélice de y/o turismo turborreactores helicópteros para realizar con vuelos que entre servir cubrir Madrid los vuelos y las aparatos interinsulares. Tipo de aparato que puede El presupuesto comprar Costo en el de operador compra se es resumen de 2800 en millones la tabla de dólares. Las características de millones dólares de miles mantenimiento de Costo dólares/días de en Pilotos Tripulación Copilotos Azafatas Capacidad Turborreactor (pas./mes) tráfico pas/mes. Se entre pueden El permiso Baleares contratar concedido y Madrid hasta se requiere 10 estima pilotos que en y 16 el 8000 número azafatas. pas/mes mínimo Se (pasajeros desea aparatos emplear por mes) sea al menos 15. y el Formule interinsular a 3 copilotos. un modelo en 500 El matemático que ayude a la compañía a operar con costo de mantenimiento mínimo. Avión Helicóptero de hélice

5 Problema a 11 fábrica cuatro La compañía 2 produce bodegas X 1250 de produce distribución unidades su producto y que la fábrica se líder encargan 3 produce tres de fábricas 1000 su venta. unidades. diferentes, La fábrica La los capacidad cuales 1 produce se de envían 750 cada unidades, bodega por camión es: la Las distancias, en km desde cada Unidades Bodega fábrica a 700 cada bodega se dan Fábrica Bodega 1110 Bodega 290 Bodega 3 en 100 Bodega la siguiente 4 tabla: Fábrica El costo de envío es de $1 por kilómetro por unidad. Sin embargo, 140 está 1 hacia la Bodega 4. Además, por cuestiones de mantenimiento no el se tiempo envía ocioso producción de la fábrica desde la programación prohibido, lineal por que lo que permita debe planificar operar los siempre envíos minimizando a máxima producción. el costo total. Formular un problema de 3 mezclar Problema Una el compañía 12 hormigón quiere en el construir lugar de un construcción gran dique del en un dique, área pero lejana. los Para materiales su construcción de construcción necesita para encuentran cada material en 4 lugares y los costos lejanos de al transporte dique. La siguiente de cada origen tabla muestra de producción las cantidades del material máximas al área disponibles del dique. se Tipo de B material Cantidad disponible (tn) Costo 7.5 de transporte ($/tn) mezclas Mezcla Para de 1: la los como construcción cuatro mucho materiales. del puede dique contener A continuación se requieren un 50% se 2 muestran de tipos materiales de hormigón los requisitos A y B que a de la se las vez; producirán 2 mezclas: al menos con tiene distintas contener mezcla. un 10% del C. Los materiales A, B, C y D deben suponer al menos el 98% de que Mezcla 2: el material A debe estar presente en al menos el 20% la mezcla; C y D deben suponer la menos La siguiente la mitad de tabla A y muestra B. Los materiales los costos A, de B, cada C y mezcla D deben y suponer las cantidades al menos mínimas el 99% requeridas. de la mezcla. al Tipo de Hormigón Costo de la mezcla ($/tn) Cantidad mínima necesaria (tn) Problema El Formula objetivo 13 un de problema la compañía de programación es producir la lineal cantidad apropiado necesaria para de que hormigón la compañía con el tome menor una costo decisión. posible. Una empresa compró tres máquinas nuevas de diferentes tipos. Existen cuatro sitios disponibles C A D Mezcla

6 dentro del taller en donde se podría instalar una máquina. Algunos de ellos son más adecuados que otros objetivo para trabajo ciertas es hacia asignar maquinas y desde las en nuevas particular las máquinas. por su (No a cercanía los hay lugares flujo a los de disponibles centros trabajos de de entre trabajo manera las que máquinas). que tendrían se minimice un Por flujo lo al tanto intenso costo total manejo no se del considera manejo los materiales apropiado de materiales. en cuestión, En la tabla, con cada se proporciona una de las maquinas el costo estimado en los sitios por respectivos. unidad de tiempo El lugar del Sitio para 1 la maquina 2 Sitio por 2 lo que no se da Sitio un costo 3 en este caso. Sitio $13 $15 $16 - $12 $13 $11 Formular máquina un 3 problema $5 para determinar la $7 asignación óptima $10 de las máquinas. $6 $20 Problema descongestivos: Una empresa 14 para abastecer a uno 5 ciudades. de para productos adultos La planta (A) medicinales y otro tiene para una está niños capacidad programando (B); y máxima tiene disponibles de la producción 3 plantas de de 3000 de dos producción dosis, nuevos 5000 dosis y la 3 de 7500 dosis. Ciudad Las 1 demandas Ciudad de 2 dosis Ciudad de cada 3 ciudad Ciudad son: 4 Ciudad 5 la 2 Descongestivo A B completamente Como la demanda supera la capacidad de producción, la empresa se ha comprometido 1000 descongestivos descongestivo a la población infantil, mientras que la cantidad en abastecer cada ciudad e igual que para se entreguen todas las para ciudades. adultos El en costo cada de ciudad producción será de proporcional cada dosis a de la demanda descongestivo dosis total de tipo medicamento de A $7, en y la el ciudad del tipo B es $8 de en $12, cualquiera en la ciudad de sus 2 de plantas. $14, el El precio la ciudad ofrecido 3 para $10, vender el cada ciudad dosis ciudad $13 es: y el de la ciudad 5 de $15, ya sea de A o de B. El costo de transporte desde cada planta a cada 4 12 Ciudad $2 1 $2 Ciudad 2 $2 Ciudad 3 $1 Ciudad 4 Ciudad 5 maximizar Plantear el modelo Planta lineal 3 que $1 ayude a $1 la empresa $1 a decidir el $2 plan de entregas $2 Problema 15 el beneficio total. óptimo, de manera de Plantear No solución un problema única de programación lineal que: Tenga tenga infinitas solución solución soluciones no (no acotada factible) a) b) c) d) 6

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